Question

14．已知有限集A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n≥2，n∈N）．如果A中元素a_i（i=1，2，3，…n）滿足a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n，就稱A為“創(chuàng)新集”，給出下列結(jié)論：
①集合$\left\{{\left.{3+\sqrt{3}，3-\sqrt{3}}\right\}}$是“創(chuàng)新集”；
②若集合{2，a²}是“創(chuàng)新集”，則a=$\sqrt{2}$；
③若a₁，a₂∈R，且{a₁，a₂}是“創(chuàng)新集”，則a₁a₂＞4；
④若a₁，a₂∈N^*“創(chuàng)新集”A有且只有一個(gè)，且n=3．
其中正確的結(jié)論是①③④．（填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)已知中“創(chuàng)新集”的定義，結(jié)合韋達(dá)定理及反證法，逐一判斷四個(gè)結(jié)論的正誤，進(jìn)而可得答案

解答 解：①∵（3+$\sqrt{3}$）（3-$\sqrt{3}$）=9-3=6=3+$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$=6，滿足新定義集合；故①是正確的；
②若集合{2，a²}是“創(chuàng)新集”，則2+a²=2a²，解得a=$±\sqrt{2}$；故a=$\sqrt{2}$錯(cuò)誤；故②錯(cuò)誤；
③若a₁，a₂∈R，且{a₁，a₂}是“創(chuàng)新集”，
不妨設(shè)a₁+a₂=a₁a₂=t，
則由韋達(dá)定理知a₁，a₂是一元二次方程x²-tx+t=0的兩個(gè)根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②錯(cuò)；
③不妨設(shè)A中a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，
由a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n＜na_n，得a₁a₂…a_n-1＜n，當(dāng)n=2時(shí)，
即有a₁＜2，
∴a₁=1，于是1+a₂=a₂，a₂無解，即不存在滿足條件的“創(chuàng)新集”A，故③正確．
當(dāng)n=3時(shí)，a₁a₂＜3，故只能a₁=1，a₂=2，求得a₃=3，于是“創(chuàng)新集”A只有一個(gè)，為{1，2，3}．
當(dāng)n≥4時(shí)，由a₁a₂…a_n-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是說“創(chuàng)新集”A存在的必要條件是n＞（n-1）!，事實(shí)上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n²-3n+2=（n-2）²-2+n＞2，矛盾，
∴當(dāng)n≥4時(shí)不存在復(fù)活集A，故④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是元素與集合的關(guān)系，正確理解已知中的新定義“創(chuàng)新集”的含義是解答的關(guān)鍵，難度較大．