Question

10．已知函數(shù)f（x）是定義域為R的非零函數(shù)，設函數(shù)F（x）=f（x）$+\frac{1}{x}$．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，試用定義證明：F（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（x）為偶函數(shù)，試判斷F（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）若f（x）為奇函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，試判斷F（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義給予證明．

Answer 1

分析 （1）若f（x）為奇函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明F（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（x）為偶函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明判斷F（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明．

解答 解：（1）若f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
則F（-x）=f（-x）+$\frac{1}{-x}$=-f（x）-$\frac{1}{x}$=-（f（x）+$\frac{1}{x}$）=-F（x），
即：F（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（x）為偶函數(shù)，f（-x）=f（x），
則F（-x）=f（-x）+$\frac{1}{-x}$=f（x）-$\frac{1}{x}$≠-（f（x）+$\frac{1}{x}$）=-F（x），
且F（-x）≠F（x），
則F（x）為非奇非偶函數(shù)；
（3）設0＜x₁＜x₂，
若f（x）為奇函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，即f（x₁）＞f（x₂），
則F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）+$\frac{1}{{x}_{1}}$-f（x₂）-$\frac{1}{{x}_{2}}$=f（x₁）-f（x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
則F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
即F（x₁）＞F（x₂），故函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)遞減．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關鍵．