Question

已知函數f(x)=x+2(x≥2)．

(1)求反函數f^-1(x)并指出其定義域；

(2)若數列{a_n}(a_n＞0)的前n項和S_n(n∈N^*)對所有大于1的正整數n都有S_n=f^-1(S_n-1)，

且a₁=2，求{a_n}的通項公式；

(3)令C_n=(n∈N^*)，求(C₁+C₂+…+C_n-n)．

Answer 1

答案：(1)設y=f(x)，則y=()²

∵x≥2，∴≥0，∴x=()2

所以反函數為y=f^-1(x)=()²，x∈[0，+∞)．

(2)∵S_n=()²(a_n＞0)，∴S_n＞0

∴

∴+(n-1)S_n=2n²(n∈N^*)

當a≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2(n-1)2=4n-2

當n=1時，a₁=2亦適合上式

所以{a_n}的通項公式為a_n=4n-2(n∈N^*)．

(3)C_n==1+=1+

∴C₁+C₂+…+C_n-n=n+1-n=1

∴(C₁+C₂+…+C_n-n)=1．