Question

19．已知F是拋物線x²=2py的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，且滿足|AF|+|BF|=3p，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為p．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A，B的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離．

解答 解：拋物線x²=2py的焦點(diǎn)F（0，$\frac{p}{2}$）準(zhǔn)線方程y=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴|AF|+|BF|=y₁+$\frac{p}{2}$+y₂+$\frac{p}{2}$=3p
解得y₁+y₂=2p，
∴線段AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為p
∴線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為p．
故答案為：p．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離．