Question

6．設(shè)定義在區(qū)間（-a，a）上的函數(shù)$f（x）={log_{2015}}\frac{1+mx}{1-2015x}$是奇函數(shù)（a，m∈R，m≠-2015），則m^a的取值范圍是（　　）

• A． $（1，{2015^{\frac{1}{2015}}}]$
• B． $（0，{2015^{\frac{1}{2015}}}]$
• C． $（1，{2015^{\frac{1}{2015}}}）$
• D． $（0，{2015^{\frac{1}{2015}}}）$

Answer 1

分析 定義在區(qū)間（-a，a）上的函數(shù)$f（x）={log_{2015}}\frac{1+mx}{1-2015x}$是奇函數(shù)，利用f（-x）+f（x）=0，化為$\frac{（1-mx）（1+mx）}{（1+2015x）（1-2015x）}$=1，m≠-2015，解得m=2015．令$\frac{1+2015x}{1-2015x}$＞0，解得x，kd $0＜a≤\frac{1}{2015}$．即可得出．

解答 解：∵定義在區(qū)間（-a，a）上的函數(shù)$f（x）={log_{2015}}\frac{1+mx}{1-2015x}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，化為$lo{g}_{2015}\frac{1-mx}{1+2015x}$+$lo{g}_{2015}\frac{1+mx}{1-2015x}$=0，
∴$\frac{（1-mx）（1+mx）}{（1+2015x）（1-2015x）}$=1，
∵m≠-2015，
∴m=2015．
∴f（x）=$lo{g}_{2015}\frac{1+2015x}{1-2015x}$，
令$\frac{1+2015x}{1-2015x}$＞0，
解得$-\frac{1}{2015}＜x＜\frac{1}{2015}$，
∴$0＜a≤\frac{1}{2015}$．
∴m^a=2015^a取值范圍是$（1，201{5}^{\frac{1}{2015}}）$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性求值、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．