Question

8．已知直線$y=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x$和橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$交于不同的兩點M，N，若M，N在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意求得M點坐標，將M代入直線方程，利用橢圓的性質(zhì)，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知：M，N在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點，則M（c，$\frac{^{2}}{a}$），
則$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×c，則3b²=2$\sqrt{3}$ac，即3c²+2$\sqrt{3}$ac-3a²=0，兩邊同除以a²，
整理得：3e²+2$\sqrt{3}$e-3=0，解得：e=-$\sqrt{3}$或e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由0＜e＜1，
故e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：C．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．