Question

已知在△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于點(diǎn)D，且

AD

=λ

AC

+

1

6

AB

（λ∈R），則AD的長(zhǎng)為（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  3

• C、1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義,向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D分別作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，由于B，D，C三點(diǎn)在同一條直線上，可得λ+

1

6

=1．又

AB

AC

=

BD

DC

，可得AC=

3

5

．再利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：如圖所示，
過(guò)點(diǎn)D分別作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，
∵B，D，C三點(diǎn)在同一條直線上，則λ+

1

6

=1，
∴λ=

5

6

．
又

AB

AC

=

BD

DC

=

5 6

1 6

=5，∴AC=

3

5

．
∴

AD

2=(

5

6

AC

+

1

6

AB

)2=

25

36

AC

2+

1

36

AB

2+2×

5

6

×

1

6

×|

AC

| |

AB

|cos60°
=

25

36

×

9

25

+

1

36

×9+

5

18

×

3

5

×3×

1

2

=

3

4

．
∴|

AD

|=

3

2

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、平行四邊形法則、角平分線性質(zhì)定理、數(shù)量積的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．