Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時⊥？此時的值是多少？．

考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的綜合問題．

Answer 1

 解：

（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，

長半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．（4分）

（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx﹣3=0，

故．（6分）

，即x₁x₂+y₁y₂=0．而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，

于是．

所以時，x₁x₂+y₁y₂=0，故．（8分）

當(dāng)時，，．，

而（x₂﹣x₁）²=（x₂+x₁）²﹣4x₁x₂=，

所以．（12分）