Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₂（3，0），過(guò)F₂的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且M（1，-1）是線段AB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）已知F₁是橢圓的左焦點(diǎn)，求△F₁AB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程，兩式相減，根據(jù)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），求出斜率，進(jìn)而可得a，b的關(guān)系，根據(jù)右焦點(diǎn)為F（3，0），求出a，b的值，即可得出橢圓C的離心率；
（2）直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}$（x-3），橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，聯(lián)立直線與橢圓，化為關(guān)于x的一元二次方程，即可得出△F₁AB的面積．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2
A，B代入橢圓方程，兩式相減，整理可得，k_AB=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∵直線的斜率為$\frac{0+1}{3-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵右焦點(diǎn)為F（3，0），
∴a²-b²=9，
∴a²=18，b²=9，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}$（x-3），橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
聯(lián)立直線與橢圓，化為x²-2x-3=0，∴x₁=3，x₂=-1．
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}•|3+1|$=2$\sqrt{5}$．
點(diǎn)F₁到直線AB的距離d=$\frac{|-3-0-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$．
∴△F₁AB的面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{6}{\sqrt{5}}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．