Question

已知函數(shù)f(x)=

3x

a

-2x2+lnx（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x-2x²+lnx，
則f′（x）=1-4x+

1

x

，且f（1）=-1，
∴f′（1）=-2，
∴在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0，
（2）由題意得，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴x∈[1，2]時(shí)，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0恒成立，
即

3

a

≥4x-

1

x

對(duì)x∈[1，2]恒成立，
設(shè)h（x）=4x-

1

x

，因函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴

3

a

≥h(2)=4×2-

1

2

=

15

2

，解得0＜a≤

2

5

，
故a的取值范圍是（0，

2

5

]．