Question

Rt△ABC中，AB為斜邊，•=9，S_△ABC=6，設(shè)P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點，P到三邊AB，BC，AC的距離分別為x，y，z，則x+y+z的取值范圍是________．

Answer 1

[，4]
分析：設(shè)三邊分別為a，b，c，利用正弦定理和余弦定理結(jié)合向量條件利用三角形面積公式即可求出三邊長．欲求x+y+z的取值范圍，利用坐標(biāo)法，將三角形ABC放置在直角坐標(biāo)系中，通過點到直線的距離將求x+y+z的范圍轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合線性規(guī)劃的思想方法求出范圍即可．
解答：△ABC為Rt△ABC，且∠C=90°，
設(shè)三角形三內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的三邊分別為a，b，c，
∵
（1）÷（2），得 ，
令a=4k，b=3k（k＞0）
則 ∴三邊長分別為3，4，5．
以C為坐標(biāo)原點，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，
則A、B坐標(biāo)為（3，0），（0，4），直線AB方程為4x+3y-12=0．
設(shè)P點坐標(biāo)為（m，n），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為x，y，z．
可知 ，
且，
故，
令d=m+2n，由線性規(guī)劃知識可知，如圖：
當(dāng)直線分別經(jīng)過點A、O時，x+y+z取得最大、最小值．
故0≤d≤8，故x+y+z的取值范圍是 ．
故答案為：[]．
點評：本題主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量數(shù)量積的運算、簡單線性規(guī)劃思想方法的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．