Question

已知橢圓C：(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別是F₁(－c，0)，F(xiàn)₂(c，0)，直線l：x＝my＋c與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N且當(dāng)m＝－時(shí)，M是橢圓C的上頂點(diǎn)，且△MF₁F₂的周長(zhǎng)為6．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，直線AM，AN與直線：x＝4分別相交于點(diǎn)P，Q，問(wèn)當(dāng)m變化時(shí)，以線段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，所以：　3分 　　解得：，　5分 　　所以橢圓方程是：；　6分 　　(1)當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是， 　　又點(diǎn)坐標(biāo)是，由圖可以得到兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是，以為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長(zhǎng)為6，猜測(cè)當(dāng)變化時(shí)，以為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn)，被軸截得的弦長(zhǎng)為定值6，　8分 　　證明如下：設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則直線的方程是：， 　　所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)是，　9分 　　由方程組得到：， 　　所以：，　11分 　　從而： 　　＝0， 　　所以：以為直徑的圓一定過(guò)右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長(zhǎng)為定值6．　13分