Question

在數(shù)列{a_n} 中，a₁=1，a _n+1=3a_n+（n+1）•3ⁿ（n∈N^*），
（Ⅰ）設(shè)b_n=

an

3n

，求數(shù)列{b_n} 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

an

n

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過a _n+1=3a_n+（n+1）•3ⁿ，兩邊同除3ⁿ⁺¹，得到數(shù)列{

an

3n

}，利用累加法求數(shù)列{b_n} 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）求出數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列{

an

n

}的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法直接求數(shù)列{

an

n

}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）a _n+1=3a_n+（n+1）•3ⁿ，兩邊同除3ⁿ⁺¹，
∴

an+1

3n+1

=

an

33

+

n+1

3

，
即b_n+1=b_n+

n+1

3

，
所以b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（ b₂-b₁）+b₁，又b₁=

a1

3

=

1

3

，
故bn=

n+(n-1)+…+2+1

3

=

n(n+1)

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=

an

3n

，得an= 3nbn=

n(n+1)•3n-1

2

，所以

an

n

=

3nbn

n

=

(n+1)•3n-1

2

，Sn= 

2•30

2

+

3•31

2

+

4•32

2

+…+

(n+1)•3n-1

2

…①
3Sn=

2•31

2

+

3•32

2

+

4•33

2

+…+

(n+1)•3n

2

…②

①-②得：-2Sn=

2•30

2

+ 

1

2

(3+32+33+…+3n-1) -

(n+1)•3n

2

，
所以Sn=

(2n+1)•3n-1

2

．

點(diǎn)評：本題是中檔題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．