Question

設(shè)a＞0,b＞0.

(1)比較a³+b³與a²b+ab²的大小;

(2)比較a⁴+b⁴與a³b+ab³的大小;

(3)比較aⁿ+bⁿ與a^n-1b+ab^n-1的大小(其中n∈N^*,且n≠1).

   

Answer 1

思路分析:比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小,一般運(yùn)用作差法.

    解:(1)a³+b³-a²b-ab²=(a+b)(a²-ab+b²)-ab(a+b)=(a+b)(a-b)².

∵a＞0,b＞0,∴a+b＞0.

∵(a-b)²≥0,∴(a+b)(a-b)²≥0.

∴a³+b³≥a²b+ab².

(2)a⁴+b⁴-a³b-ab³=a³(a-b)+b³(b-a)=(a-b)(a³-b³)=(a-b)²(a²+ab+b²).

∵(a-b)²≥0,a²+ab+b²＞0,

∴a⁴+b⁴-a³b-ab³≥0,

    即a⁴+b⁴≥a³b+ab³.

(3)aⁿ+bⁿ-(a^n-1b+ab^n-1)=a^n-1(a-b)+b^n-1(b-a)=(a-b)(a^n-1-b^n-1).

①當(dāng)a＞b＞0時(shí),a-b＞0,且根據(jù)函數(shù)y=x^n-1(n∈N^*,n≠1)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)可知a^n-1＞b^n-1,即a^n-1-b^n-1＞0,則(a-b)(a^n-1-b^n-1)＞0.

②當(dāng)a=b＞0時(shí),a-b=0,則(a-b)(a^n-1-b^n-1)=0.

③當(dāng)b＞a＞0時(shí),a-b＜0,同①可得a^n-1-b^n-1＜0,則(a-b)(a^n-1-b^n-1)＞0.

    綜上所述(a-b)(a^n-1-b^n-1)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),因此,aⁿ+bⁿ≥a^n-1b+ab^n-1.