Question

求證：關(guān)于x的方程x²+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是m≥2.?

Answer 1

證明：(1)充分性.?

∵m≥2,∴Δ=m²－4≥0,方程x²+mx+1=0有實(shí)根.?

設(shè)x²+mx+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x₁、x₂,由根與系數(shù)的關(guān)系知x₁·x₂=1>0,x₁+x₂=－m≤－2,?

∴x₁、x₂同為負(fù)實(shí)根.?

充分性得證.?

(2)必要性.?

∵x²+mx+1=0的兩個(gè)實(shí)根x₁、x₂均為負(fù)，且x₁·x₂=1,?

∴m－2=－(x₁+x₂)－2=－(x₁+)－2?

=－≥0.?

故m≥2.必要性得證.?

∴方程x²+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是m≥2.?

點(diǎn)評(píng)：充要條件的證明，首先要分清條件和結(jié)論，明白充分性和必要性，然后再加以證明.?

求證：“p成立的充要條件是q”，應(yīng)分兩個(gè)命題來證明：?

(1)先證充分性.充分性是指證什么呢？我們不妨把“求證：p成立的充要條件是q”中的“充要”改成“充分”，即證“p成立的充分條件是q”，即證“pq”.

(2)再證必要性.必要性是指證什么呢？我們不妨把“求證：p成立的充要條件是q”中的“充要”換成“必要”，即證“p成立的必要條件是q”，即證“pq”.