Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），設(shè)h（x）=f（x）+g（x），
（Ⅰ）求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若在y=h（x）在x∈（0，3]的圖象上存在一點(diǎn)P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≥成立，求實(shí)數(shù)a的最大值；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=g（）+m-1的圖象于y=f（x²+1）的圖象恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ），其定義域?yàn)椋?，+∞），
，
令，則x=a，
于是，當(dāng)x＞a時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
所以h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，a）；
（Ⅱ）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120308/201203081018550181128.gif">，
所以在區(qū)間x∈（0，3]上存在一點(diǎn)P（x₀，y₀），
使得以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率，
等價(jià)于，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120308/201203081018550431211.gif">，
所以在x∈（0，3]的最大值為，
于是a≤，a的最大值為。
（Ⅲ）若的圖象與的圖象恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
即有四個(gè)不同的根，亦即方程有四個(gè)不同的根。
構(gòu)造函數(shù)，
則F（x）的圖象與x軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)，，
令，
當(dāng)x變化時(shí)F′（x）和F（x）的變化情況如下表：

所以當(dāng)且即時(shí)，F(xiàn)（x）的圖象與x軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
解得，
所以存在使得兩個(gè)函數(shù)的圖像恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)。