Question

【題目】在四棱錐中，平面平面，，，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）（3）見解析

【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)得面，即可證明面（2）取中點為，連結(jié)，，證明， 以為原點，如圖建系易知，，，，求面及面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可（3）假設(shè)存在點使得∥面， 設(shè)，由∥面，為的法向量，得，

（1）∵面面，面面，

∵，面，∴面，

∵面， ∴，

又，∴面，

（2）取中點為，連結(jié)，，

∵， ∴，

∵， ∴，

以為原點，如圖建系易知，，，，

則，，，，

設(shè)為面的法向量，令．，

設(shè)為面的法向量，令．

，

則二面角余弦值為

故二面角正弦值為

（3）假設(shè)存在點使得∥面， 設(shè)，，

由（2）知，，，，

有∴

∵∥面，為的法向量，

∴，即，得

綜上，存在點，即當(dāng)時，點即為所求．