Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為30°，且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=1．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值；
（2）求兩向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先利用數(shù)量積求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}、|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$，開方后得答案；
（2）求出（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），結(jié)合（1）中的結(jié)果求得兩向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為30°，且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=1，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$3+1+2×\sqrt{3}×1×cos30°$=$4+2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=5$，
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$；
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$3+1-2×\sqrt{3}×1×cos30°$=4$-2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$，
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1；
（2）$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{|}^{2}=3-1=2$．
由（1）知|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=5，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1．
∴兩向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角θ的余弦值cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}=\frac{2}{5×1}=\frac{2}{5}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，訓練了由數(shù)量積求兩向量的夾角的方法，是中檔題．