Question

從集合{1，2，3，…，n}的所有非空子集中等可能的取出一個(gè)．
（Ⅰ）記性質(zhì)t：集合中所有元素之和為m（m＜n且m為偶數(shù)），求取出的是至多含有2個(gè)元素且滿(mǎn)足性質(zhì)t的非空子集的概率；
（Ⅱ）記所有取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）記“所取出的非空子集滿(mǎn)足性質(zhì)r”為事件A，則基本事件數(shù)是2ⁿ-1個(gè)．分別對(duì)n分類(lèi)討論：當(dāng)n=3時(shí)；當(dāng)n=4時(shí)；當(dāng)n=5時(shí)；當(dāng)n=6時(shí)；當(dāng)n=7時(shí)；當(dāng)n=8時(shí)．可得：當(dāng)n=2k-1或2k（k≥2）時(shí)，滿(mǎn)足性質(zhì)r的集合只有1+2+…+（k-1）=

k(k-1)

2

個(gè)．即可得出：取出的是至多含有2個(gè)元素且滿(mǎn)足性質(zhì)t的非空子集的概率．
（2）由題意知ξ的可能取值是1，2，…，n，基本事件的總數(shù)是2ⁿ-1個(gè)．ξ的分布列是：P（ξ=k）=

∁ k n

2n-1

，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）記“所取出的非空子集滿(mǎn)足性質(zhì)r”為事件A，則基本事件數(shù)是2ⁿ-1個(gè)．
當(dāng)n=3時(shí)，{1，2，3}，其中滿(mǎn)足性質(zhì)r的集合只有一個(gè){2}；
當(dāng)n=4時(shí)，{1，2，3，4}，其中滿(mǎn)足性質(zhì)r的集合只有一個(gè){2}；
當(dāng)n=5時(shí)，{1，2，3，4，5}，其中滿(mǎn)足性質(zhì)r的集合只有3個(gè){2}，{4}，{1，3}；
當(dāng)n=6時(shí)，{1，2，3，4，5，6}，其中滿(mǎn)足性質(zhì)r的集合只有3個(gè){2}，{4}，{1，3}；
當(dāng)n=7時(shí)，{1，2，3，4，5，6，7}，其中滿(mǎn)足性質(zhì)r的集合只有6個(gè){2}，{4}，{6}，{1，3}，{1，5}，
{2，4}；
當(dāng)n=8時(shí)，{1，2，3，4，5，6，7，8}，其中滿(mǎn)足性質(zhì)r的集合只有6個(gè){2}，{4}，{6}，{1，3}，{1，5}，
{2，4}．
…，由以上可得：當(dāng)n=2k-1或2k（k≥2）時(shí)，滿(mǎn)足性質(zhì)r的集合只有1+2+…+（k-1）=

k(k-1)

2

個(gè)．
∴取出的是至多含有2個(gè)元素且滿(mǎn)足性質(zhì)t的非空子集的概率P=

k(k-1)

2(2n-1)

．
（2）由題意知ξ的可能取值是1，2，…，n，基本事件的總數(shù)是2ⁿ-1個(gè)．
ξ的分布列是：

ξ	1	2	…	n
p（ξ）	∁ 1 n 2n-1	∁ 2 n 2n-1	…	∁ n n 2n-1

其數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=

∁ 1 n +2 ∁ 2 n +…+n ∁ n n

2n-1

=

n•2n-1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合的性質(zhì)、組合數(shù)的計(jì)算公式及其性質(zhì)、概率及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法，考查了推理能力、猜想能力與計(jì)算能力，屬于難題．