Question

已知f（x）在（-1，1）上有定義，且滿足x，y∈（-1，1）時，有
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
（2）數(shù)列{a_n}滿足，，x_n=f（a_n），求{x_n}的通項公式．
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：利用賦值法，先令y=0可求f（0）=0，再令y=-x即可證明f（-x）=-f（x），即可
（2）由=f（a_n-1）+f（a_n-1）=2f（a_n-1）=2x_n-1，可得{x_n}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求
（3）由=及f（x+y）=f（）可得=，利用疊加可求
解答：（1）證明：令y=0得：f（x）+f（0）=f（x）所以f（0）=0
令y=-x得：f（x）+f（-x）=f（0）=0所以f（-x）=-f（x）
又f（x）的定義域為（-1，1）
所以f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)
（2）解：∵=f（a_n-1）+f（a_n-1）=2f（a_n-1）=2x_n-1

所以{x_n}為以2為公比-1為首項的等比數(shù)列．  故
（3）證明：∵=
所以：=
所以   
     
       …
     
以上等式相加得：=1+=
點評：本題主要考查了利用賦值法證明抽象函數(shù)的奇偶性，及等比數(shù)列的證明，通項公式的求解，疊加求解數(shù)列的和，本題是函數(shù)與數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，具有一定的綜合性．