Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)一模）如圖，四棱錐P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AC⊥PD；
（Ⅱ）在線段PA上，是否存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD？若存在，求

PE

PA

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明；
（II）線段PA上，存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD．在△PAD中，分別取PA、PD靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)E、F，連接EF．由平行線分線段成比例定理在三角形中的應(yīng)用，即可得到EF∥AD，EF=

1

3

AD=1．利用已知條件即可得到EF

∥

.

BC，得到四邊形BCFE為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明．

解答：（Ⅰ）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，
∴AC⊥PD．
（Ⅱ）線段PA上，存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD．下面給出證明：
∵AD=3，
∴在△PAD中，分別取PA、PD靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)E、F，連接EF．
∵

PE

PA

=

PF

PD

=

1

3

，∴EF∥AD，EF=

1

3

AD=1．
又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
∴BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理在三角形中的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．