Question

已知直線l經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)并且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)M，則△MPQ面積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出直線的方程利用直線與橢圓聯(lián)立方程組，求出AB的距離，求出AB的中點(diǎn)與M的距離，推出三角形的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求出面積的最大值即可．
解答：解：由題意可知直線的斜率存在，
所以設(shè)直線l的方程為y=kx+1，M（m，0）；
由可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=-．
可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=．…（3分）
設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），直線MN的方程為：y-=（x-），
M（，0），|MN|==，
|AB|==
△MPQ的面積為==
==≤．當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)去等號(hào)．
所以所求面積的最大值為．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查m的取值范圍和求△MPQ面積的最大值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．