Question

16．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，a₁+a₂=1，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+${2}^{{a}_{n}}$，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列可知a₂a₅=${{a}_{3}}^{2}$，結(jié)合a₁+a₂=1，組成一個(gè)關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）可知a_n=n-1，從而b_n=n-1+2^n-1，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，
∴a₂a₅=${{a}_{3}}^{2}$，
又∵a₁+a₂=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+4d）=（{{a}_{1}+2d）}^{2}}\\{2{a}_{1}+d=1}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}d=0}\\{2{a}_{1}+d=1}\end{array}\right.$，
∵d≠0，
∴a₁=0，d=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n-1；
（Ⅱ）由（I）可知a_n=n-1，
∴b_n=a_n+${2}^{{a}_{n}}$=n-1+2^n-1，
∴T_n=[0+1+2+…+（n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1）
=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{n（n-1）}{2}$+2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．