精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

如圖，A，B兩點的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是 $數(shù)學(xué)公式$ ．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（ 2）是否存在斜率為l直線l與曲線C交于P，Q兩點，且使△OPQ的面積等于 $數(shù)學(xué)公式$ ？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

解：（1）設(shè)M（x，y），則由條件可得 $\text{[math]}$
整理可得 $\text{[math]}$ ；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l，其方程為y=x+m，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
直線方程代入橢圓方程，消去y可得7x²+8mx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由△=64m²-28（4m²-12）＞0可得m²＜7
∴|PQ|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵圓的O到直線l的距離d= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴m= $\text{[math]}$ 或m=±2，滿足m²＜7
∴存在滿足條件的直線l，其方程為y=x $\text{[math]}$ 或y=x±2．
分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用直線AM，BM的斜率之積是 $\text{[math]}$ ，建立方程，即可得到點M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及△OPQ的面積等于 $\text{[math]}$ ，建立方程，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．

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（I）求證：點B縱坐標(biāo)是點A縱坐標(biāo)的2倍，并計算||AB|-|CD||的取值范圍；
（II）試問直線BD是否經(jīng)過一個定點？若是，求出定點的坐標(biāo)：若不是，說明理由．

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