Question

4．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$（a≠0），若{x|f（x）≤0}={b，c}（其中b，c∈R，且b＜c），則實數(shù)a的取值范圍為（e，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；討論a＜0，a＞0，由函數(shù)的零點的個數(shù)，可得f（$\frac{1}{a}$）＜0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a＜0時，f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$．
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以 f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$+∞）．
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
所以，函數(shù)f（x）至多存在一個零點，不符合題意．
當(dāng)a＞0時，因為 f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）內(nèi)是減函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
所以要使{x|f（x）≤0}=[b，c]，必須f（$\frac{1}{a}$）＜0，即aln$\frac{1}{a}$+a＜0．
所以a＞e．
故答案為：（e，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值的求法，考查分類討論以及分析問題解決問題的能力．