Question

5．某茶樓有四類(lèi)茶飲，假設(shè)為顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間相互獨(dú)立，且都是整數(shù)（單位：分鐘）．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)該茶樓服務(wù)員以往為100位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間t，結(jié)果如表所示．

類(lèi)別	鐵觀音	龍井	金駿眉	大紅袍
顧客數(shù)（人）	20	30	40	10
時(shí)間t（分鐘/人）	2	3	4	6

注：服務(wù)員在準(zhǔn)備泡茶工具時(shí)的間隔時(shí)間忽略不計(jì)，并將頻率視為概率．
（1）求服務(wù)員恰好在第6分鐘開(kāi)始準(zhǔn)備第三位顧客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分鐘末服務(wù)員已準(zhǔn)備好了泡茶工具的顧客數(shù)，求X的分布列及均值．

Answer 1

分析 （1）由題意知t的分布列，由此計(jì)算服務(wù)員恰好在第6分鐘開(kāi)始準(zhǔn)備第三位顧客的泡茶工具的概率；
（2）由題意知X的所有可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出X的分布列，計(jì)算均值（數(shù)學(xué)期望）．

解答 解：（1）由題意知t的分布列如下：

t	2	3	4	6
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{10}$

設(shè)A表示事件“服務(wù)員恰好在第6分鐘開(kāi)始準(zhǔn)備第三位顧客的泡茶工具”，則事件A對(duì)應(yīng)兩種情形：
①為第一位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間為2分鐘，且為第二位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間為3分鐘；
②為第一位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間為3分鐘，且為第二位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間為2分鐘；
所以P（A）=P（t=2）•P（t=3）+P（t=3）•P（t=2）=$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{25}$；
（2）由題意知，X的所有可能取值為0，1，2，
X=0時(shí)對(duì)應(yīng)為第一位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間超過(guò)4分鐘，
所以P（X=0）=P（t＞4）=P（t=6）=$\frac{1}{10}$；
X=1時(shí)對(duì)應(yīng)為第一位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間為2分鐘且為第二位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間超過(guò)2分鐘，
或?yàn)榈谝晃活櫩蜏?zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間為3分鐘，或?yàn)榈谝晃活櫩蜏?zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間為4分鐘，
所以P（X=1）=P（t=2）•P（t＞2）+P（t=3）+P（t=4）=$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{10}$+$\frac{2}{5}$=$\frac{43}{50}$；
X=2時(shí)對(duì)應(yīng)為兩位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間均為2分鐘，
所以P（X=2）=P（t=2）•P（t=2）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{25}$；
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{43}{50}$	$\frac{1}{25}$

X的均值為E（X）=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{43}{50}$+2×$\frac{1}{25}$=$\frac{47}{50}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．