Question

【題目】已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】

(1)涉及中點(diǎn)弦,用點(diǎn)差法處理即可求得,進(jìn)而求得拋物線方程;

(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè),直線,則直線分別和拋物線方程聯(lián)立, 解得利用,結(jié)合直線方程,即可證得直線的斜率為定值.

(1)設(shè),則,兩式相減,得: 由弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,得,故.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè)直線由得由點(diǎn)在拋物線上,可知上述方程的一個(gè)根為.即,同理 .

直線的斜率為定值.