Question

19．已知函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|，現(xiàn)有如下幾個(gè)命題：
①該函數(shù)為偶函數(shù)；
②該函數(shù)最小正周期為π；
③該函數(shù)值域?yàn)閇1，$\sqrt{2}$]；
④該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．
其中正確命題為①③④．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的周期性以及單調(diào)性，從而得出結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|為偶函數(shù)，故①正確；
畫(huà)出函數(shù)位于y軸右側(cè)的圖象，如圖所示，
再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
可得函數(shù)f（x）在R上的圖象，如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的最小正周期為$\frac{π}{2}$，故②不正確，
③正確；
由于在$[0，\frac{π}{2}]$上，$f（x）=sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
結(jié)合它的最小正周期為$\frac{π}{2}$，
故該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z，
故④正確，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．