Question

設曲線y=cosx與x軸、y軸、直線x=

π

6

圍成的封閉圖形的面積為b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，則實數k的取值范圍是

[0，+∞）

．

Answer 1

分析：由曲線y=cosx與x軸、y軸、直線x=

π

6

圍成的封閉圖形的面積為b，b為函數y=cosx在[0，

π

6

]上的定積分，求出b后代入函數g（x）=2lnx-2bx²-kx，由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，可知其導函數在[1，+∞）上小于等于0恒成立，然后利用分離變量法可求k的取值范圍．

解答：解：由題意可知，b=

∫

π 6 0

cosxdx=sin

x|

π 6 0

=sin

π

6

-sin0=

1

2

-0=

1

2

．
則g（x）=2lnx-2bx²-kx=2lnx-x²-kx．
g′(x)=

2

x

-2x-k，
由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，
則g′(x)=

2

x

-2x-k≤0在[1，+∞）上恒成立，
即k≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，
令t（x）=

2

x

-2x，
則t′(x)=-

2

x2

-2．
當x∈[1，+∞）時，t′(x)=-

2

x2

-2＜0
所以，函數t（x）=

2

x

-2x在[1，+∞）上為減函數，
則t（x）_max=t（1）=0，
所以，k≥0．
所以，使g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減的實數k的取值范圍是[0，+∞）．
故答案為[0，+∞）．

點評：本題考查了定積分的求法，考查了利用函數得到函數研究函數的單調性，訓練了利用分離變量求參數的取值范圍，此題屬中檔題．