Question

16．在數(shù)列{a_n}中，${a_1}=1，{\;}_{\;}{a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{3+{a_n}}}{\;}_{\;}（n∈{N^+}）$，
（1）寫出這個數(shù)列的前4項，并猜想這個數(shù)列的通項公式；
（2）證明這個數(shù)列的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關系即可得出．
（2）由原式兩邊取對數(shù)，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：（1）在數(shù)列{a_n}中，∵a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{3+{a}_{n}}$（n∈N⁺）．
a₁=1=$\frac{3}{3}$，a₂=$\frac{3{a}_{1}}{3+{a}_{1}}$=$\frac{3}{2+2}$，a₃=$\frac{3{a}_{2}}{3+{a}_{2}}$=$\frac{3}{3+2}$，a₄=$\frac{3{a}_{3}}{3+{a}_{3}}$=$\frac{3}{4+2}$，a₅=$\frac{3{a}_{4}}{3+{a}_{4}}$=$\frac{3}{5+2}$，…
∴可以猜想，這個數(shù)列的通項公式是a_n=$\frac{3}{n+2}$．
（2）證明：由原式得$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{3+{a}_{n}}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$，
所以數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）$\frac{1}{3}$=$\frac{n+2}{3}$，從而a_n=$\frac{3}{n+2}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、取對數(shù)法、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．