Question

19．設函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常數，ω＞0，0＜φ＜π），若f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上具有單調性，且f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{2}$），則f（$\frac{π}{ω}$）的值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由-f（$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{2}$），可得函數的圖象關于直線x=$\frac{5π}{12}$對稱．由f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上具有單調性，可得x=$\frac{π}{6}$到與它最近的對稱軸的距離也等于$\frac{π}{12}$，再求得此對稱軸方程可得函數的周期，從而求出ω=3．再根據f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$），求得φ=$\frac{π}{4}$，可得f（x）的解析式，從而求得f（$\frac{π}{ω}$）的值．

解答 解：對于函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常數，ω＞0，0＜φ＜π），
由-f（$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{2}$），可得函數的圖象關于直線x=$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$=$\frac{5π}{12}$對稱．
∵f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上具有單調性，
x=$\frac{π}{3}$到對稱軸x=$\frac{5π}{12}$的距離為 $\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{12}$，故x=$\frac{π}{6}$到與它最近的對稱軸的距離也等于$\frac{π}{12}$，
∴與它最近的對稱軸的方程為x=$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{12}$，故x=$\frac{5π}{12}$和x=$\frac{π}{12}$ 為同一周期里面相鄰的兩條對稱軸，
故函數的周期為2×（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=3．
再根據f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$），可得sin（$\frac{π}{2}$+φ）=-sin（π+φ），即 cosφ=sinφ，∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{ω}$）=f（$\frac{π}{3}$）=sin（π+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性，正弦函數的單調性，三角函數的周期性及其求法，確定x=$\frac{5π}{12}$和x=$\frac{π}{12}$ 為同一周期里面相鄰的對稱軸是關鍵，也是難點，屬于中檔題．