Question

7．已知函數(shù)f（x）=alnx-$\frac{x-1}{x+1}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x=2處的切線方程；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n+1}＜\frac{1}{2}$ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率、切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求f（x）在x=2處的切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，利用判別式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）確定當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，令x=$\frac{n+1}{n}$，則$\frac{1}{2}$ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2n+1}$，累加可得結(jié)論．

解答 （1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$…（1分）
∴f（2）=ln2-$\frac{1}{3}$，f′（2）=$\frac{5}{18}$…（3分）
∴f（x）在x=2處的切線方程為y=$\frac{5}{18}$x+ln2-$\frac{8}{9}$．…（4分）
（2）解：f′（x）=$\frac{a{x}^{2}+（2a-2）x+a}{x（x+1）^{2}}$，…（5分）
依題知f（1）=0，故f′（1）≥0，∴a≥$\frac{1}{2}$．…（6分）
令g（x）=ax²+（2a-2）x+a，△=-8a+4（a≥$\frac{1}{2}$），…（7分）
故g（x）≥0，a≥$\frac{1}{2}$，則f′（x）≥0，即f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，…（8分）
又f（1）=0，∴a≥$\frac{1}{2}$．…（9分）
（3）證明：當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，令x=$\frac{n+1}{n}$，則$\frac{1}{2}$ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2n+1}$，…（10分）
累加不等式，∴$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n+1}＜\frac{1}{2}$ln（n+1）（n∈N^*）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵．