Question

14．一個三棱錐的三視圖如圖所示，其正視圖、左視圖、俯視圖的面積分別是1，2，4，則這個幾何體的外接球的表面積為21π．

Answer 1

分析 幾何體是一個三棱錐，一條側棱與底面垂直，底面是一個直角三角形，根據(jù)正視圖、側視圖、俯視圖面積分別是1、2、4．求出三條邊的長度，這個三棱錐的外接球也是以這個三棱錐三條側棱為棱的長方體的外接球，做出長方體的直徑，求出球的表面積．

解答 解：由題意知幾何體是一個三棱錐，一條側棱與底面垂直，底面是一個直角三角形，
∵正視圖、側視圖、俯視圖面積分別是1、2、4，
設出三條互相垂直的棱長是x，y，z，
有xz=2，yz=4，xy=8，
∴x=2，y=4，z=1，
這個三棱錐的外接球也是以這個三棱錐三條側棱為棱的長方體的外接球，
長方體的直徑是2R=$\sqrt{4+16+1}$=$\sqrt{21}$，
∴幾何體的外接球的表面積是4π×$\frac{21}{4}$=21π，
故答案為：21π．

點評 本題考查球和幾何體之間的關系，本題解題的關鍵是根據(jù)三條側棱兩兩垂直的關系得到由這三條側棱構成的長方體，從而得到外接球的表面積．