【題目】如圖，
是邊長為2的正方形，平面
平面，且
，
是線段
的中點，過
作直線
，
是直線
上一動點.
（1）求證：
；
（2）若直線上存在唯一一點使得直線
與平面
垂直，求此時二面角
的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
（1）先證EO⊥面ABCD，進而可得BC⊥面EOF，從而可證OF⊥BC；
（2）由（1）可得
平面
，得到
、
、
兩兩垂直，可建立空間直角坐標系
，由條件得到
，轉(zhuǎn)化為向量
，從而
，轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的方程有唯一實數(shù)解，得到
，
，又判斷∠BFC為二面角B﹣OF﹣C的平面角，利用向量夾角公式可求二面角B﹣OF﹣C的余弦值．
（1）因為
，
是
中點，故
，
又因為平面
平面，平面
平面
，
故平面，所以
；
因為
，
，所以
，
故
平面
，
所以
.
（2）設(shè)
的中點為
，則有
，由（1），平面，
所以、、兩兩垂直.可如圖建立空間直角坐標系.
依題意設(shè)點
的坐標為
，點
的坐標為
，又
，
，
所以
，
，
由（1）知
，故
與平面
垂直，等價于，
故，從而，即
，
直線
上存在唯一一點使得直線與平面垂直，即關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解.
所以
，解得，此時.
故點的坐標為
，點的坐標為
.
因為
平面
，所以且
，
所以
即二面角
的平面角.
因為
，
，
所以
，
即若直線上存在唯一一點使得直線與平面垂直時，
所以二面角的余弦值為.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）已知點
為拋物線
的焦點，點
在拋物線
上，且
．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知點
，延長
交拋物線于點
，證明：以點為圓心且與直線
相切的圓，必與直線
相切．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，
、
分別是橢圓
長軸的左、右端點，
為橢圓上的動點.
（1）求
的最大值，并證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)直線
的斜率為
，且
，求直線
的斜率的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若點
在曲線上，點
在曲線上，求
的最小值及此時點的坐標.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的準線過橢圓C：
（a＞b＞0）的左焦點F，且點F到直線l：
（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點F做直線與橢圓C交于A，B兩點，P是AB的中點，線段AB的中垂線交直線l于點Q.若
，求直線AB的方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在正方形
中，
，
分別為棱
和棱
的中點，則下列說法正確的是( )
A.
∥平面
B.平面
截正方體所得截面為等腰梯形
C.
平面D.異面直線
與
所成的角為60°
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知正四棱柱
的底面邊長
,側(cè)棱長
,它的外接球的球心為
，點
是
的中點，點
是球上的任意一點，有以下命題：
①
的長的最大值為9;
②三棱錐
的體積的最大值是
;
③存在過點的平面，截球的截面面積為
;
④三棱錐
的體積的最大值為20；
⑤過點的平面截球所得的截面面積最大時，
垂直于該截面.
其中是真命題的序號是___________
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