Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=pn²-2n+q(p，q∈R)，n∈N^*.

（1）求q的值；

（2）若a₁與a₅的等差中項(xiàng)為18，b_n滿足a_n=2log₂b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和.

Answer 1

(1)解法一:當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=p-2+q,當(dāng)n≥2時(shí),a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p(n-1)²+2(n-1)-q

=2pn-p-2.∵{a_n}是等差數(shù)列,∴p-2+q=2p-p-2.∴q=0.

解法二:當(dāng)n=1時(shí),a₁=S₁=p-2+q;當(dāng)n≥2時(shí),a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p(n-1)²+2(n-1)-q=2pm-p-2;

當(dāng)n≥3時(shí),a₁-a_n-1=2pn-p-2-［2p(n-1)-p-2］=2p;a₂=p-2+q+2p=3p-2+q.又a₂=2p·2-p-2=3p-2,

所以3p-2+q=3p-2,得q=0.

 (2)解:∵a₃=,∴a₃=18.

又a₃=6p-p-2,∴6p-p-2=18.∴p=4.∴a_n=8n-6.

又a_n=2log₂b_n,得b_n=2^4n-3.∴b₁=2,==2⁴=16,即{b_n}是等比數(shù)列.

∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n==(16ⁿ-1).