Question

（2012•宿州三模）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+a_n+1=

4n+1

2

（n∈N₊）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_2n-1}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+a_n+1=

4n+1

2

，可得a_n-1+a_n=

4n-3

2

，聯(lián)立可得a_n+1-a_n-1=2，結(jié)合a₁=1，可得a₁，a₃，a₅…a_2n-1成等差數(shù)列．及可證
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求n為奇數(shù)時a_n，當n為偶數(shù)時，an+an+1=an+n+1=

4n+1

2

，即可求a_n，結(jié)合通項公式及等差數(shù)列的求和公式可求S_n

解答：（Ⅰ）證明：由已知，當n≥2時，a_n+a_n+1=

4n+1

2

①，a_n-1+a_n=

4n-3

2

（n∈N₊）．②，
①-②可得a_n+1-a_n-1=2，又a₁=1，所以a₁，a₃，a₅…a_2n-1成等差數(shù)列．
所以數(shù)列{a_2n-1}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n為奇數(shù)時a_n=n，則n為偶數(shù)時，an+an+1=an+n+1=

4n+1

2

，
得an=n-

1

2

，
所以an=

n，n為奇數(shù) n- 1 2 ，n為偶數(shù)

．…（8分）
n為偶數(shù)時，Sn=

n 2 [(a1+a2)+(an-1+an)]

2

=

n( 5 2 + 4n-3 2 )

4

=

2n2+n

4

n（n≥3）為奇數(shù)時，S_n=S_n-1+a_n=

2(n-1)2+(n-1)

4

+n=

2n2+n+1

4

又

2+1+1

4

=1=S1
故Sn=

2n2+n+1 4 ，n為奇數(shù) 2n2+n 4 ，n為偶數(shù)

..…（12分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的定義在等差數(shù)列的證明中的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用