Question

正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)為4，M、N、E、F分別是A₁D₁、A₁B₁、D₁C₁、B₁C₁的中點(diǎn).

(1)求證:平面AMN∥平面EFBD;

(2)求平面AMN與平面EFBD間的距離.

Answer 1

(1)證明：如圖,建立坐標(biāo)系,則A(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4).

取MN之中點(diǎn)G及EF之中點(diǎn)K,BD之中點(diǎn)Q,則G(3,1,4),K(1,3,4),Q(2,2,0).

∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-1,1,4),=(-1,1,4).

可見(jiàn)=,=,

∴MN∥EF,AG∥QK,

∴MN∥平面EFBD,AG∥平面EFBD,

∴平面AMN∥平面EFBD.

(2)解：設(shè)n=(1,λ,μ)是平面EFBD的法向量,

則n·=（1,λ,μ）·(2,2,0)=2+2λ=0,

及n·=(1,λ,μ)·(-1,1,4)=-1+λ+4μ=0,

∴λ=-1,μ=,∴n=(1,-1,).

兩平面之間的距離為

d=.