Question

8．設(shè)S_n是數(shù)列a_n=$\frac{1}{3}$[2ⁿ-（-1）ⁿ]的前n項(xiàng)的和，且b_n=a_na_n+1，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n-λS_n＞0對任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 要使b_n-λS_n＞0，對?n∈N^*都成立，下面對n進(jìn)行分類討論：①當(dāng)n為正奇數(shù)時，②當(dāng)n為正偶數(shù)時，分別求得λ的取值范圍，最后綜上所述得到，存在常數(shù)λ，使得b_n-λS_n＞0對?n∈N^*都成立，λ的取值范圍．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{3}$[2ⁿ-（-1）ⁿ]，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n，
=$\frac{1}{3}$[（2+2²+…+2ⁿ）-（（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ）]，
=$\frac{1}{3}$[$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{（-1）[1-（-1）^{n}]}{1+1}$]，
=$\frac{1}{3}$[2ⁿ⁺¹-2-$\frac{-1+（-1）^{n}}{2}$]，
=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{n}+1}{3}-\frac{2}{3}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{2}^{n}+1}{3}-\frac{1}{3}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$
又b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{9}$[2ⁿ-（-1）ⁿ][2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]，
=$\frac{1}{9}$[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]，
∵b_n-λs_n＞0，
∴$\frac{1}{9}$[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-λ$\frac{1}{3}$[2ⁿ⁺¹-2-$\frac{-1+（-1）^{n}}{2}$]＞0，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，
[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-λ（$\frac{{2}^{n+1}}{3}$）＞0，
∴λ＜$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）對?n∈{奇數(shù)}都成立，
∴λ＜1；
當(dāng)n為偶數(shù)時，
$\frac{1}{9}$[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-λ（$\frac{{2}^{n+1}}{3}$）-$\frac{2}{3}$＞0，
∴λ＜$\frac{1}{6}$（2ⁿ⁺¹+1）對?n∈{偶數(shù)}都成立，
∴λ＜$\frac{3}{2}$，
綜上所述，λ的取值范圍為λ＜1．

點(diǎn)評 本小題主要考查等比關(guān)系的確定、數(shù)列的求和、不等式的解法、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．