Question

10．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為線段B₁C的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱C₁D₁上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段BD₁上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 連接BC₁，得出點(diǎn)P、E、F在平面BC₁D₁中，問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)直線BD₁上取一點(diǎn)P，求點(diǎn)P到定點(diǎn)E的距離與到定直線的距離的和的最小值問題，利用平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)E關(guān)于直線BD₁的坐標(biāo)即可．

解答 解：連接BC₁，則BC₁∩B₁C=E，點(diǎn)P、E、F在平面BC₁D₁中，
且BC₁⊥C₁D₁，C₁D₁=1，BC₁=$\sqrt{2}$，
如圖1所示；
在Rt△BC₁D₁中，以C₁D₁為x軸，C₁B為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖2所示；
則D₁（1，0），B（0，$\sqrt{2}$），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線BD₁的對(duì)稱點(diǎn)為E′，
∵BD₁的方程為x+$\frac{y}{\sqrt{2}}$=1①，
∴k_EE′=-$\frac{1}{-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線EE′的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
由①②組成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，
直線EE′與BD₁的交點(diǎn)M（$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）；
所以對(duì)稱點(diǎn)E′（$\frac{2}{3}$，$\frac{5\sqrt{2}}{6}$），
∴PE+PF=PE′+PF≥E′F=$\frac{5\sqrt{2}}{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何體中距離和的計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解答，是難題．