Question

在一次研究性學習中，老師給出函數f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），四個小組的同學在研究此函數時，討論交流后分別得到一下四個命題：
①函數f（x）的值域是（-1，1）；
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），則f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意的n∈N^*恒成立；
④若實數a，b滿足f（a-1）+f（b）=0，則a+b等于1．
你認為上述四個命題中正確的序號有

 

．（填寫出正確的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：①，分x＞0與x≤0討論，可得函數f（x）的值域是（-1，1），從而可判斷①；
②，由①的分析可知，函數在每一分段上單調，從而可判斷②；
③，依題意，可求得f₂（x）=f（f₁（x））=

x

1+2|x|

，f₃（x）=f（f₂（x））=

x

1+3|x|

…，利用歸納法可判斷③；
④，利用f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x）可判斷該函數為奇函數，利用奇函數的性質及②可判斷④．

解答： 解：對于①，由f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）可知，當x＞0時f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

∈（0，1）；
當x≤0時f（x）=

x

1-x

=（-1+

1

1-x

）∈（-1，0），故函數f（x）的值域是（-1，1），即①正確；
對于②，由①知，該函數在每一分段上單調，所以，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），②正確；
對于③，∵f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
∴f₂（x）=f（f₁（x））=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，f₃（x）=f（f₂（x））=

x 1+2|x|

1+| x 1+2|x| |

=

x

1+3|x|

…
∴f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意的n∈N^*恒成立，即③正確；
對于④，∵f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）為奇函數，
又f（a-1）+f（b）=0，
∴f（a-1）=-f（b）=f（-b），由②知，x₁≠x₂，必有f（x₁）≠f（x₂），即若f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂，
∴a-1=-b，
∴a+b=1，即④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查函數的解析式、單調性及值域，考查歸納法與推理運算能力，④中，分析f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）為奇函數是關鍵，屬于難題．