Question

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=.已知點(diǎn)P(0，)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

解法一:設(shè)橢圓的參數(shù)方程為

(其中a＞b＞0，0≤θ＜2π).

由e²＝＝1－()²＝,得a=2b.

設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d，

則d²＝x²＋(y－)²

＝a²cos²θ＋(bsinθ－)²

＝－3b²(sinθ＋)²＋4b²＋3.

如果＞1,即b＜,

那么當(dāng)sinθ＝－1時(shí),d²取得最大值()²＝(b＋)²,

由此得b=－＞,與b＜矛盾.

因此必有≤1.

此時(shí)當(dāng)sinθ＝－時(shí)，d²取得最大值()²＝4b²＋3，

解得b=1,a=2.

所求橢圓的參數(shù)方程是

由sinθ＝－，cosθ＝±求得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)是(－，－)與(，－).

解法二:設(shè)所求橢圓的方程為＝1(a＞b＞0).

由e²＝＝1－()²＝，

解得.

設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d,

則d²＝x²＋(y－)²

＝a²－y²＋(y－)²

＝－3y²－3y＋4b²＋

＝－3(y＋)²＋4b²＋3,

其中－b≤y≤b.如果b＜，則當(dāng)y=－b時(shí)，d²取得最大值()²＝(b＋)²，

解得b=－＞,與b＜矛盾.

故必有b≥.

當(dāng)y=－時(shí),d²取得最大值()²＝4b²＋3,

解得b=1,a=2.

所求橢圓方程為＋y²＝1.

由y=－可求得到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)為(±，－).

點(diǎn)評(píng):橢圓的參數(shù)方程是解決橢圓問(wèn)題的一個(gè)工具，但不是所有與橢圓有關(guān)的問(wèn)題必須用參數(shù)方程來(lái)解決.