Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．

(1)求證：平面PBD上平面PAC；

(2)求點A到平面PBD的距離；

(3)求二面角B-PC-A的大�。�

Answer 1

解法一：如圖所示，以O為原點建立空間直角坐標系．

(1)平面PAC即xOz平面的一個法向量為n=(0，1，0)；設平面PBD的一個法向量為n₁=(1，y₁，z₁)，

由n₁⊥ ,n₁⊥,可得n₁=(1，0，)

由n·n₁=(0，1，0)·(1，0，)=0，得n⊥n₁，

所以平面PBD⊥平面PAC

(2) =(，0，0)，點A到平面PBD的距離

d=

(3)平面PAC的一個法向量為(0，1，0)，設平面PBC的一個法向量n₂=(1，y₂，z₂)

由n₂⊥，n₂⊥可得n₂=(1，，)

∴cos＜n，n₂＞=，

∴故所求的二面角為arecos．

解法二：(1)平面PBD⊥平面PAC

(2)連結PO，過點A作AE⊥PO，平面PAC∩平面PBD=PO，

∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距離，計算得AE=

(3)過點O作OF⊥PC，連接BF，∵OF⊥平面PAC，由三垂線定理PC⊥BF，∴∠OFB為二面角B-PC-A的平面角，

經計算，AC=2，PC=4，OC=

∵Rt△OFC∽Rt△PAC，

∴

∴tan∠OFB=

∴∠OFB=arctan

即二面角B-PC-A的大小為arctan．