Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上的任意一點P到該拋物線焦點的距離比該點到y(tǒng)軸的距離多1． 
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如圖所示，過定點Q（2，0）且互相垂直的兩條直線l₁、l₂分別與該拋物線分別交于A、C、B、D四點．
（i）求四邊形ABCD面積的最小值；
（ii）設(shè)線段AC、BD的中點分別為M、N兩點，試問：直線MN是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可知

p

2

=1；
（Ⅱ）（i）由題意可設(shè)直線?₁的方程為x=2+my（m≠0），代入y²=4x得y²-4my-8=0，由韋達定理及弦長公式可表示出|AC|、|BD|，從而可表示出S_{四邊形ABCD}=

1

2

|AC||BD|，通過換元及二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最小值；（ii）由（i）及中點坐標(biāo)公式可得M、N的坐標(biāo)，從而可表示直線MN的方程，根據(jù)方程特點可求得定點坐標(biāo)；

解答： 解：（Ⅰ）由已知

p

2

=1，∴p=2；
（Ⅱ）（i）由題意可設(shè)直線?₁的方程為x=2+my（m≠0），代入y²=4x得y²-4my-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則

y1+y2=4m y1y2=-8

，△=16（2+m²）＞0，
∴|AC|=

(m2+1)[(y1-y2)2-4y1y2]

=

(m2+1)(16m2+32)

=4

(m2+1)(m2+2)

=4

m4+3m2+2

，
同理可得|BD|=4

1 m4 + 3 m2 +2

，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

|AC|•|BD|=8

(m4+3m2+2)( 1 m4 + 3 m2 +2)

=8

2(m4+ 1 m4 )+9(m2+ 1 m2 )+14

=8

2(m2+ 1 m2 )2+9(m2+ 1 m2 )+10

，
設(shè)t=m2+

1

m2

，則t≥2，
∴S_{四邊形ABCD}=8

2t2+9t+10

，
∵函數(shù)y=2t²+9t+10在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴S_{四邊形ABCD} ≥8

36

=48，當(dāng)且僅當(dāng)t=2即m=±1時取等號，
∴四邊形ABCD面積的最小值是48．
（ii）由（i）得y₁+y₂=4m，
∴yM=

y1+y2

2

=2m，xM=2+myM=2+2m2，
∴M（2+2m²，2m），
同理得N(2+

2

m2

，-

2

m

)，
∴直線的方程可表示為(y-2m)(

2

m2

-2m2)=(-

2

m

-2m)(x-2-2m2)，即（y-2m）（1-m²）=-m（x-2-2m²），
當(dāng)y=0時得x=4，
∴直線MN過定點（4，0）．

點評：本題考查拋物線的性質(zhì)、方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系、四邊形的面積求解，運算量較大，綜合性較強．第（Ⅱ）中的第（i）問：
S_{四邊形ABCD}=

1

2

|AC|•|BD|=8

(m2+1)(m2+2)

•

( 1 m2 +1)( 1 m2 +2)

=8

[(m2+1)( 1 m2 +1)][(m2+2)( 1 m2 +2)]

=8

(2+m2+ 1 m2 )(5+ 2 m2 +2m2)

≥8

(2+2)(5+2×2)

=48（當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時取等號）也可．