Question

在三棱錐P—ABC中,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分別是AB、AC、AP的中點.

(1)求證:平面GFE∥平面PCB;

(2)求二面角B-A-P-C的大小;

(3)求直線PF與平面PAB所成角的大小.

Answer 1

解法一:(1)證明:因為E、F、G分別是AB、AC、AP的中點，

所以EF∥BC，GF∥CP.

因為EF、GF平面PCB，

所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.

又EF∩GF=F,

所以平面GFE∥平面PCB.

(2)過點C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA，垂足為H.連結(jié)HB.

因為BC⊥PC,BC⊥AC,且PC∩AC=C，

所以BC⊥平面PAC.

所以HB⊥PA.

所以∠BHC是二面角BAPC的平面角.

依條件容易求出CH=，所以tan∠BHC=.

所以∠BHC=arctan.

所以二面角BAPC的大小是arctan.

(3)方法一:如圖，設(shè)PB的中點為K，

連結(jié)KC，AK，因為△PCB為等腰直角三角形，所以KC⊥PB.又AC⊥PC,AC⊥BC,且PC∩BC=C,所以AC⊥平面PCB.所以AK⊥PB.因為AK∩KC=K,所以PB⊥平面AKC.又PB平面PAB,所以平面AKC⊥平面PAB.在平面AKC內(nèi),過點F作FM⊥AK,垂足為M.

因為平面AKC⊥平面PAB,所以FM⊥平面PAB.連結(jié)PM,

所以∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角.

容易求出PF=,FM=.所以sin∠MPF=.所以∠MPF=arcsin，

即直線PF與平面PAB所成的角的大小是arcsin.

(3)方法二:連結(jié)FB，

因為PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C，

所以PC⊥平面ABC，

即PC是三棱錐P—ABF的高.

依條件知V_P—ABF=×PC×(×AF×BC)

=×1×(×1×1)=.

又V _F—PAB=×h×S_△PAB(其中h是點F到平面PAB的距離)

=×h×(××)=×h×=h,

所以由=h，解得h=.

設(shè)PF與平面PAB所成的角為α，

又PF=,所以sinα=.所以α=arcsin，

即直線PF與平面PAB所成角的大小是arcsin.

解法二:依條件建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C—xyz.

所以A(2，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，1).

(1)略.3分

(2)顯然=(0，1，0)是平面PAC的一個法向量.

設(shè)n=(x,y,z)是平面PAB的一個法向量，

因為=(-2,0,1),=(-2,1,0),

所以由n·=0,n·=0,解得n=(1,2,2).

設(shè)二面角B-AP-C的大小為θ，

所以cosθ==.

所以二面角BAPC的大小為arccos.(arccos=arctan)

(3)設(shè)PF與平面PAB所成的角為α，

由(2)知平面PAB的一個法向量n=(1,2,2).

又FP=(-1，0，1)，

所以cos(-α)= =.11分

所以sinα=.所以α=arcsin,

即直線PF與平面PAB所成角的大小是arcsin