Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（2，0）、三點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)．求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），將A（-2，0）、B（2，0）、代入橢圓E的方程，得到關(guān)于m，n的方程組，即可解得．最后寫出橢圓E的方程；
（2）先設(shè)△DFH邊上的高為h，由于，得到當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為，再設(shè)△DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)椤鱀FH的周長(zhǎng)為定值6．所以，從而救是R的最大值，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+my²=1（m＞0，n＞0），
將A（-2，0）、B（2，0）、代入橢圓E的方程，得
解得．
∴橢圓E的方程
（2）|FH|=2，設(shè)△DFH邊上的高為h，
當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為，所以S_△DFH的最大值為．
設(shè)△DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)椤鱀FH的周長(zhǎng)為定值6．所以，
所以R的最大值為．所以內(nèi)切圓 圓心的坐標(biāo)為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解答的關(guān)鍵是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，利用待定系數(shù)法求解．