Question

14．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$ ）的圖象與x軸的一個交點(diǎn)為（-$\frac{π}{6}$，0），與此交點(diǎn)距離最短的最高點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{π}{12}$，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（2）求方程f（x）=a （-1＜a＜0）在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得f（x）在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

解答 解：（1）依題意A=1，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
又∵f（-$\frac{π}{6}$）=0，∴sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，結(jié)合-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期是 π，∴函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）在[0，2π]內(nèi)恰有2個周期，
∴f（x）=a （-1＜a＜0）在[0，2π]內(nèi)4個實(shí)根，可設(shè)為x₁，x₂，x₃，x₄，（x₁＜x₂＜x₃＜x₄ ）
根據(jù)$\frac{{2x}_{1}+\frac{π}{3}+{2x}_{2}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{3π}{2}$，$\frac{{2x}_{3}+\frac{π}{3}+{2x}_{4}+\frac{π}{3}}{2}$=2$π+\frac{3π}{2}$，求得 $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{7π}{12}$，$\frac{{x}_{3}{+x}_{4}}{2}$=$\frac{19π}{12}$，
∴在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和 2×$\frac{7π}{12}$=2×$\frac{9π}{12}$=$\frac{13π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．