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如圖1，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O-xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．

圖1

(1)當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，探究的最小值；

(2)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線AB上運動時，探究的最小值；

(3)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結(jié)論，你能證明你的結(jié)論嗎？

答案：略
解析：

解：設(shè)正方體的棱長為a．

(1)當點P為對角線AB的中點時，點P的坐標是

因為點Q在線段CD上，設(shè)Q(0，a，z)．

當時，的最小值為，即點Q在CD的中點時，有最小值．

(2)因為P在對角線AB上運動，Q是定點，所以當PQ⊥AB時，最短．因為當點Q為棱CD的中點時，△QAB是等腰三角形，所以，當P是AB的中點時，取得最小值．

(3)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，的最小值仍然是．

證明如下：如圖2，設(shè)由正方體的對稱性，顯然有x=y．

設(shè)P在平面OA上的射影是H．在△AOB中，所以

即有

圖2

所以，點P的坐標是

由已知，可設(shè)則

當時，取得最小值，最小值是．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

如圖所示，正方體邊長為1，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系Oxyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．

(1)當點P為對角線AB中點，點Q在棱CD上運動時，求｜PQ｜的最小值；

(2)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線AB上運動時，求|PQ|的最小值．

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如圖所示，正方體邊長為1，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O－xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．

(1)當點P為對角線AB中點，點Q在棱CD上運動時，求｜PQ｜的最小值；

(2)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線AB上運動時，求|PQ|的最小值．

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（本小題滿分12分）如圖在邊長為1正方體中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標系，

（I）若點在線段上，且滿足，試寫出點的坐標并寫出關(guān)于縱坐標軸軸的對稱點的坐標；

（Ⅱ）在線段上找一點，使得點到點的距離最小，求出點的坐標。

 

 

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（本小題滿分12分）如圖在棱長為1正方體中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標系，

（I）若點在線段上，且滿足，試寫出點的坐標并寫出關(guān)于平面的對稱點的坐標；

（Ⅱ）線段中點為，求點到點的距離。

 

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