Question

數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₉=135，a₃，a₄，a₁₂成等比數(shù)列，
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，使仍為數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)？若存在，求出滿足要求的所有正整數(shù)m；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d≠0，則，
∴a₁+4d=15，①
又∵a₃，a₄，a₁₂成等比數(shù)列，
∴，即（a₁+3d）²=（a₁+2d）（a₁+11d），
化簡，得13d+7a₁=0，②
由①②，得d=7，a₁=-13，
∴a_n=a₁+（n-1）d=7n-20。
（Ⅱ）由于，
∴，
設(shè)，則，
即，
又k，m均為正整數(shù)，故7必能被7m-13整除，
∴m=2，k=10，
∴存在唯一的正整數(shù)m=2。