Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax³+$\frac{3}{2}$x²sinθ-6x+1，且對任意的實(shí)數(shù)t，恒有f′（-e${\;}^{{t}^{2}}$）≥0，f′（3|cost|-1）≤0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對?x₁，x₂∈[0，3]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤10．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件，建立方程或不等式結(jié)合三角函數(shù)的有界性即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對?x₁，x₂∈[0，3]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤10等價為：|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可．．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax²+3xsinθ-6，
∵-e${\;}^{{t}^{2}}$≤-1，∵3|cost|-1∈[2，4]，
∴對任意的實(shí)數(shù)t，恒有f′（-e${\;}^{{t}^{2}}$）≥0，f′（3|cost|-1）≤0．
∴當(dāng)t=0時，f′（-e${\;}^{{t}^{2}}$）=f′（-1）≥0，
當(dāng)cost=0時，f′（3|cost|-1）=f′（-1）≤0，即f′（-1）=0，
∴等價為$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3a-3sinθ-6=0}\\{12a+6sinθ-6≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-sinθ-2=0}\\{2a+sinθ-1≤0}\end{array}\right.$，
消去a或sinθ得3sinθ≤-3，
∴sinθ=-1，a=1，
則f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+1．
（2）f′（x）=3x²-3x-6=3（x+1）（x-2），
由f′（x）=0，則x=-1或x=2．
當(dāng)x變化時，f′（x）和f（x）的變化如表：

x	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-		+
f（x）	1	遞減	-9	遞增	-$\frac{7}{2}$

則函數(shù)在[0，3]上的f（x）_max=1，f（x）_min=-9，
則：|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=|1-（-9）|=10．
即|f（x₁）-f（x₂）|≤10成立．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)最值的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．