Question

6．下列函數(shù)中，值域?yàn)閇-2，2]的是（　�。�

• A． f（x）=2^x-1
• B． f（x）=log_0.5（x+11）
• C． f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$
• D． f（x）=x²（4-x²）

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域即可判斷A、B錯誤，對于C，f（0）=0，x≠0時(shí)，原函數(shù)變成f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$，利用基本不等式即可得出這種情況下f（x）的范圍．從而得出f（x）的值域?yàn)閇-2，2]，這便說明C正確，對于D，帶入一個x值，使該值不在[-2，2]上即可說明該函數(shù)的值域不為[-2，2]．

解答 解：A．f（x）=2^x-1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域即知該函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）；
B．f（x）=log_0.5（x+11），由對數(shù)函數(shù)的值域即知該函數(shù)的值域?yàn)镽；
C.$f（x）=\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，（1）x=0時(shí)，f（0）=0；
（2）x≠0時(shí)，f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$，若x＞0，則$x+\frac{1}{x}≥2$，∴0＜f（x）≤2；
若x＜0，則x+$\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，∴-2≤f（x）＜0；
∴綜上得f（x）的值域?yàn)閇-2，2]；
∴該選項(xiàng)正確；
D．f（x）=x²（4-x²），f（1）=3∉[-2，2]，∴該函數(shù)的值域不是[-2，2]．
故選C．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的值域，以及基本不等式用于求函數(shù)的值域，掌握選項(xiàng)D在說明D中函數(shù)值域不為[-2，2]所用方法．